RESÚMENES

1.- Haces vectoriales y estabilidad de Bridgeland, Dra. Leticia Brambila Paz (CIMAT).

Resumen:
La  teoría de haces vectoriales ha sido relevante para el desarrollo de distintas áreas de la matemática, como son: geometría algebraica, geometría diferencial, teoría de representaciones, etc.,  y en físico matemática. En esta plática presentaremos algunos de los principales resultados del tema y problemas abiertos. 

 

2.- Curvas algebraicas, Dr. Hugo Torres López, (PCCM UMSNH-UNAM, Morelia)

Resumen:
Las curvas algebraicas tienen una repercursión en diferentes áreas de las matemáticas como lo son: Variable compleja, geometría diferencial, teoría de números, teoría de nudos, criptografía, física, entre otras. El objetivo de este curso es estudiar las curvas algebraicas desde el punto de vista de geometría diferencial. Para esto, empezaremos estudiando las superficies de Riemann y la relación de éstas con las curvas algebraicas.
El principal objetivo de las dos pláticas es explicar los teoremas de Hurwitz y Bezout para superficies. Este último afirma que dos curvas algebraicas proyectivas planas {\displaystyle C,D} de grados m y n, definidas sobre un campo algebraicamente cerrado k y sin componente irreducible en común, tienen exactamente mn puntos de intersección contados con su multiplicidades.
Si el tiempo lo permite, enunciaremos dos teoremas clásicos: Teorema de Riemann Roch y dualidad de Serre para curvas algebraicas, los cuales son de utilidad para la clasificación de superficies.

 

3.-Variedades algebraicas, Dr. César Lozano (CONACYT-IMUNAM, Oaxaca).

Resumen:
En esta charla definiremos qué son las variedades algebraicas y qué es una familia de ellas. En tema central de la charla será analizar con ejemplos el concepto de "familia plana" de variedades.

 

4.- Teoría Variacional de invariantes geométricos (VGIT), Edgar Iván Castañeda González (CIMAT)

Resumen:
Sean X una variedad proyectiva y G un grupo reductivo actuando linealmente en dicha variedad. D. Mumford prueba la existencia de un cociente bueno de los puntos semiestables de X por G, dicho cociente es denotado por X^{ss}//G y se denomina GIT-cociente. La estructura de este GIT-cociente puede cambiar al considerar a X encajado de distintas formas dentro de un espacio proyectivo P^n. 

Una manera de realizar estos encajes es mediante las secciones globales de un haz lineal L sobre X. Si además es posible levantar la acción de G a dicho haz, podemos definir la semiestabilidad de un punto de X en base a las secciones globales invariantes de esta nueva acción, la cual es llamada linealización con respecto a G. En estos casos el GIT-cociente, denotado por M^{ss}(L) , depende de la linealización.

M. Thaddeus es el primero en realizar un estudio del cambio en la estructura de estos cocientes al variar la linealización. Esta nueva área de estudio se conoce como Teoría Variacional de Invariantes Geométricos abreviada, por sus siglas en inglés, VGIT) y tiene como objetivo el describir el cambio en las estructuras de los GIT-cocientes. En esta platica mencionamos las principales ideas de tal área así como sus principales resultados.

 

5.- Ejemplo de VGIT, Leonardo Roa Leguizamon (CIMAT).

Resumen:
Sea X una curva algebraica compleja proyectiva no singular de género g sobre C. Un sistema coherente sobre X consiste de un par (E, V ) donde E es un haz vectorial holomorfo sobre X y V es un subespacio lineal del espacio de secciones holomorfas de E. Asociados a estos objetos Le Potier, King y Newstead introducen una noción de estabilidad la cual depende de un parámetro real α y permite la construcción del espacio moduli G(α; n, d, k). La noción de estabilidad lleva a una familia de espacios moduli parametrizada por los números reales positivos.

El objetivo de esta charla es ilustrar por medio de los sistemas coherentes las principales ideas de VGIT y presentar resultados sobre como los espacios moduli G(α; n, d, k) cambian cuando el valor de α varı́a.

 

6.- Esquemas, Dr. J. Rogelio Pérez Buendía, (CONACYT-CIMAT-Merida).

Resumen:
La teoría de esquemas fue desarrollada principalmente por Alexander Grothendieck como respuesta a la necesidad que tenían los geómetras algebraicas de principios y mediados del siglo XX, de tener espacios algebro-geométricos más generales y con estructuras más ricas que simplemente considerar ceros de funciones polinomiales sobre los complejos o sobre un campo algebraicamente cerrado.  Estas necesidades fueron muchas veces motivadas por las ideas de A. Weil, quien había usado, con cierto éxito, a la geometría algebraica para resolver problemas aritméticos, en donde se vio con la necesidad de trabajar  con objetos geométricos asociados a estructuras algebraicas más generales que las polinomiales. Grothendieck generalizó el concepto de variedad algebraica de tal manera que un esquema es un objeto algebro-geométrico con la propiedad de que cualquier anillo (conmutativo y con uno) puede considerarse como el anillo de coordenadas (o como el anillo de funciones) de un esquema. De pronto todos los anillos conmutativos y con uno encontraron un sentido geométrico, no importando lo abstracto que estos pudieran ser. Esto representó una gran ventaja, en particular, para el estudio de estructuras provenientes de la teoría de números o para los algebristas, pero también para los amantes de la geometría sobre los complejos, por ejemplo, los esquemas brindaron un mejor entendimiento de algunas propiedades geométricas de variedades, como la idea que tenían ya incluso los Griegos, respecto a los puntos de tangencia como puntos 'gordos' que contenían información sobre cómo se intersectan dichos objetos; además se han usado para estudiar singularidades, degeneraciones, espacios móduli etc.  Sin embargo, este acercamiento tiene su costo, la teoría es difícil y abstracta, pero su poder ha sido tal (se han demostrado teoremas de suma importancia) que bien merece la pena hacer un esfuerzo para entenderla y usarla. 

En estas charlas daré un panorama general de la teoría de esquemas, ilustrando algunos de sus usos e ideas principales.

 

7.-Geometría tropical, Dra. Martha María Bernal Guillén (CONACYT-UAZ).

Resumen:
La Geometría Tropical nació hace cerca de tres décadas como una herramienta de optimización. Durante los siguientes años se ha desarrollado de tal manera que se encuentra en la intersección de muchas áreas de las matemáticas y sus aplicaciones. En este curso vamos a ver algunos aspectos de la interacción de la Geometría Tropical con la Geometría Algebraica. Veremos que resultados tan profundos como Riemann-Roch, el Teorema de Brill-Noether y los problemas enumerativos clásicos en Geometría Algebraica son, por así decirlo, naturales, intrínsecos.  Más específicamente,  son válidos en la Geometría Tropical, implican los resultados clásicos y en ocasiones son más sencillos de demostrar.

 

8.-Stacks Algebraicos, Dr. Osbaldo Mata Gutiérrez (Universidad de Guadalajara)

Resumen:
Los stacks algebraicos fueron introducidos por Deligne y Mumford en 1969 basándose en las ideas de Grothendieck (1959) y Giraud (1964). Posteriormente Artin (1974) generaliza el concepto de stack. La principal motivación para introducirnos en la Teoría de stacks es que estos objetos nos ayudan a resolver problemas de clasificación, también conocidos como problemas moduli.
En este curso, daremos una breve introducción a la Teoría de Stacks, determinaremos los elementos necesarios para entender como un stack puede ser una solución a los problemas moduli.

 

9.- Geometría Birracional, Lilia Montserrat Vite Escobedo (IM-UNAM)

Resumen:
Esta plática tiene la intención de ser una introducción a la geometría birracional, empezando por describir los objetos que esta estudia: clases de isomorfismo de variedades algebraicas "salvo por un subconjunto cerrado adecuado" y exhibir su relación con el estudio de extensiones finitamente generadas de un campo algebraicamente cerrado. Se mencionarán algunos invariantes birracionales y se hablará del problema de clasificación y de la propuesta de Shigefumi Mori para resolverlo a través del programa del modelo mínimo (MMP).

 

10.- Esquema de Hilbert, Lizda Nazdira Moncada Morales (CIMAT)

Resumen:
Los Esquemas de Hilbert son objetos geométricos que parametrizan variedades con algunos invariantes fijos. A partir de categorías y funtores, Alexandre Grothedieck introdujo el concepto de los Esquemas de Hilbert y demostró algunas propiedades generales en su famoso “Elementos de Geometría Algebraica” [EGA, 1960-1967]. Su construcción al ser muy abstracta no permitía visualizar a dichos esquemas y los hace en general muy difíciles de describir. Sin embargo, hay algunos casos en los que la descripción puede ser muy explícita y en los que muchas de sus propiedades geométricas pueden demostrarse usando resultados básicos de la geometría algebraica. Esto es lo que ocurre con el Esquema de Hilbert de n puntos en el plano afín C². Haciendo cálculos explícitos, usando resultados muy conocidos de geometría algebraica y álgebra conmutativa combinatoria, podemos demostrar que el esquema de Hilbert de n puntos en el plano afín es una variedad algebraica de dimensión 2n, irreducible, suave y conexa.

 

11-Variedades de Chow, Eladio Escobedo Trujillo (IM-UNAM)

Resumen:
El concepto de ciclos es importante en Geometría Algebraica. Los ciclos de una variedad $X$ son sumas formales de variedades irreducibles en $X$. Si todas las variedades tienen una dimensión fija $r$, se le denomina un $r$-ciclo. El grado de un ciclo $\sum_{i}{n_{i}[V_{i}]}$ es $\sum_{i}{n_{i}d_{i}}$ donde $d_{i}$ es el grado de $V_{i}$.
Los ciclos de una dimensión fija de grado $d$ de una variedad proyectiva $X$ están parametrizados por una variedad proyectiva conocida como la variedad de Chow.